Рассмотрим две равенства:

1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а. Областью допустимых значений для того равенства будет все множество вещественных чисел.

2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а равного нулю. Областью допустимых значений для этого неравенства будет все множество вещественных чисел, кроме нуля.

О каждом из этих равенств можно утверждать, что оно будет верно при любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства в математике называются тождествами .

Понятие тождества

Тождество - это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных. Если в данное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.

Стоит отметить, что верные числовые равенства тоже являются тождествами. Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными . Ниже представлены несколько примеров тождественно равных выражений:

1. (a 2) 4 и a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) и -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 *x 8)/x) и x 10 .

Мы всегда можем заменить одно выражение любым другим выражением, тождественно равным первому. Такая замена будет являться тождественным преобразованием.

Примеры тождеств

Пример 1: являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Не все представленные выше выражения будут являться тождествами. Из этих равенств тождествами являются лишь 1,2 и 3 равенства. Какие бы числа мы в них не подставили, вместо переменных а и b у нас все равно получатся верные числовые равенства.

А вот 4 равенство уже не является тождеством. Потому что не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться. Например, при значениях a = 5 и b = 2 получится следующий результат:

Данное равенство не верно, так как число 3 не равняется числу -3.

Получив представление о тождествах , логично перейти к знакомству с . В этой статье мы ответим на вопрос, что такое тождественно равные выражения, а также на примерах разберемся, какие выражения являются тождественно равными, а какие – нет.

Навигация по странице.

Что такое тождественно равные выражения?

Определение тождественно равных выражений дается параллельно с определением тождества. Это происходит на уроках алгебры в 7 классе. В учебнике по алгебре для 7 классов автора Ю. Н. Макарычев приведена такая формулировка:

Определение.

– это выражения, значения которых равны при любых значениях входящих в них переменных. Числовые выражения, которым отвечают одинаковые значения, также называют тождественно равными.

Это определение используется вплоть до 8 класса, оно справедливо для целых выражений , так как они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. А в 8 классе определение тождественно равных выражений уточняется. Поясним, с чем это связано.

В 8 классе начинается изучение других видов выражений, которые, в отличие от целых выражений, при некоторых значениях переменных могут не иметь смысла. Это заставляет ввести определения допустимых и недопустимых значений переменных, а также области допустимых значений ОДЗ переменной, и как следствие - внести уточнение в определение тождественно равных выражений.

Определение.

Два выражения, значения которых равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных, называются тождественно равными выражениями . Два числовых выражения, имеющие одинаковые значения, также называются тождественно равными.

В данном определении тождественно равных выражений стоит уточнить смысл фразы «при всех допустимых значениях входящих в них переменных». Она подразумевает все такие значения переменных, при которых одновременно имеют смысл оба тождественно равных выражения. Эту мысль разъясним в следующем пункте, рассмотрев примеры.

Определение тождественно равных выражений в учебнике Мордковича А. Г. дается немного иначе:

Определение.

Тождественно равные выражения – это выражения, стоящие в левой и правой частях тождества.

По смыслу это и предыдущее определения совпадают.

Примеры тождественно равных выражений

Введенные в предыдущем пункте определения позволяют привести примеры тождественно равных выражений .

Начнем с тождественно равных числовых выражений. Числовые выражения 1+2 и 2+1 являются тождественно равными, так как им соответствуют равные значения 3 и 3 . Также тождественно равны выражения 5 и 30:6 , как и выражения (2 2) 3 и 2 6 (значения последних выражений равны в силу ). А вот числовые выражения 3+2 и 3−2 не являются тождественно равными, так как им соответствуют значения 5 и 1 соответственно, а они не равны.

Теперь приведем примеры тождественно равных выражений с переменными. Таковыми являются выражения a+b и b+a . Действительно, при любых значениях переменных a и b записанные выражения принимают одинаковые значения (что следует из чисел). К примеру, при a=1 и b=2 имеем a+b=1+2=3 и b+a=2+1=3 . При любых других значениях переменных a и b мы также получим равные значения этих выражений. Выражения 0·x·y·z и 0 тоже тождественно равны при любых значениях переменных x , y и z . А вот выражения 2·x и 3·x не являются тождественно равными, так как, к примеру, при x=1 их значения не равны. Действительно, при x=1 выражение 2·x равно 2·1=2 , а выражение 3·x равно 3·1=3 .

Когда области допустимых значений переменных в выражениях совпадают, как, например, в выражениях a+1 и 1+a , или a·b·0 и 0 , или и , и значения этих выражений равны при всех значениях переменных из этих областей, то тут все понятно – эти выражения тождественно равны при всех допустимых значениях входящих в них переменных. Так a+1≡1+a при любых a , выражения a·b·0 и 0 тождественно равны при любых значениях переменных a и b , а выражения и тождественно равны при всех x из ; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Например, в выражении 3+x число 3 можно заменить суммой 1+2 , при этом получится выражение (1+2)+x , которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a 5 степень a 5 можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a 4 . Это нам даст выражение 1+a·a 4 .

Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x 3 +2·x 2 , учитывая свойства степени, слагаемое 4·x 3 можно представить в виде произведения 2·x 2 ·2·x . После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x 2 , таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование - вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x 2 ·(2·x+1) .

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.

Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 +2·x . Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена : x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств

Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:

Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).

Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.

Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.

Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,

а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.

Тождественностями есть и такие равенства:

а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.

Пример 1. Упростить выражение:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

• выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
• выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
• выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.

Пример 2. Доказать тождество:

1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;

2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Р а з в’ я з а н н я.

1) Преобразуем левую часть данного равенства:

2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;

13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.

Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?

1. (Устно) Или есть выражения тождественно равными:

1) 2а + а и 3а;

2) 7х + 6 и 6 + 7х;

3) x + x + x и x 3 ;

4) 2(х - 2) и 2х - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?

1. Являются ли тождественно равными выражения:

1) 7х - 2х и 5х;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) а + а и а 2 ;

5) 3(а - 4) и 3а - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

1. (Устно) является Ли тождеством равенство:

1) 2а + 106 = 12аb;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(х - у) = 3х - 5у?

1. Раскройте скобки:

1. Раскройте скобки:

1. Сведите подобные слагаемые:

1. Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
2. Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:

1) -2,5 х ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 х ∙ (0,3 г);

4)- х ∙ <-7у).

1. Упростите выражение:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7а ∙ (-1,2);

3) 0,2 х ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Устно) Упростите выражение:

1) 2х - 9 + 5х;

2) 7а - 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

1. Сведите подобные слагаемые:

1) 56 - 8а + 4b - а;

2) 17 - 2р + 3р + 19;

3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;

4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.

1) 4(5х - 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 3(8а - 4) + 6а;

2) 7р - 2(3р - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;

2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;

4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.

1. Упростите выражение и найдите его значение:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;

2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;

3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.

1. Докажите тождество:

1) -(2х - у)=у - 2х;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).

1. Докажите тождество:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - р) + 7р = 14;

3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
2. Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.

1) х - (х - (2х - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));

4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));

5) (6а - b) - (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Раскройте скобки и упростите выражение:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((а - m) + 12а);

3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).

1. Докажите тождество:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);

3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).

1. Докажите тождество:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);

2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. Докажите, что значение выражения

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.

1. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения

а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)

является одним и тем же числом.

1. Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
2. Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.

Упражнения для повторения

1. Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
2. Сколько процентов составляет число 20 от своего:

1) квадрата;

1. Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.

Интересные задачи для учеников ленивых

1. В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.

Эта статья дает начальное представление о тождествах . Здесь мы определим тождество, введем используемое обозначение, и, конечно же, приведем различные примеры тождеств.

Навигация по странице.

Что такое тождество?

Логично начать изложение материала с определения тождества . В учебнике Макарычева Ю. Н. алгебра для 7 классов определение тождества дается так:

Определение.

Тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных; любое верное числовое равенство – это тоже тождество.

При этом автор сразу оговаривается, что в дальнейшем это определение будет уточнено. Это уточнение происходит в 8 классе, после знакомства с определением допустимых значений переменных и ОДЗ . Определение становится таким:

Определение.

Тождества – это верные числовые равенства, а также равенства, которые верны при всех допустимых значениях входящих в них переменных.

Так почему, определяя тождество, в 7 классе мы говорим про любые значения переменных, а в 8 классе начинаем говорить про значения переменных из их ОДЗ? До 8 класса работа ведется исключительно с целыми выражениями (в частности, с одночленами и многочленами), а они имеют смысл для любых значений входящих в них переменных. Поэтому в 7 классе мы и говорим, что тождество – это равенство, верное при любых значениях переменных. А в 8 классе появляются выражения, которые уже имеют смысл не для всех значений переменных, а только для значений из их ОДЗ. Поэтому тождествами мы начинаем называть равенства, верные при всех допустимых значениях переменных.

Итак, тождество – это частный случай равенства. То есть, любое тождество является равенством. Но не всякое равенство является тождеством, а только такое равенство, которое верно для любых значений переменных из их области допустимых значений.

Знак тождества

Известно, что в записи равенств используется знак равенства вида «=», слева и справа от которого стоят некоторые числа или выражения. Если к этому знаку добавить еще одну горизонтальную черту, то получится знак тождества «≡», или как его еще называют знак тождественного равенства .

Знак тождества обычно применяют лишь тогда, когда нужно особо подчеркнуть, что перед нами не просто равенство, а именно тождество. В остальных случаях записи тождеств по виду ничем не отличаются от равенств.

Примеры тождеств

Пришло время привести примеры тождеств . В этом нам поможет определение тождества, данное в первом пункте.

Числовые равенства 2=2 и являются примерами тождеств, так как эти равенства верные, а любое верное числовое равенство по определению является тождеством. Их можно записать как 2≡2 и .

Тождествами являются и числовые равенства вида 2+3=5 и 7−1=2·3 , так как эти равенства являются верными. То есть, 2+3≡5 и 7−1≡2·3 .

Переходим к примерам тождеств, содержащих в своей записи не только числа, но и переменные.

Рассмотрим равенство 3·(x+1)=3·x+3 . При любом значении переменной x записанное равенство является верным в силу распределительного свойства умножения относительно сложения, поэтому, исходное равенство является примером тождества. Вот еще один пример тождества: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y , здесь область допустимых значений переменных x и y составляют все пары (x, y) , где x и y - любые числа, кроме нуля.

А вот равенства x+1=x−1 и a+2·b=b+2·a не являются тождествами, так как существуют значения переменных, при которых эти равенства будут неверны. Например, при x=2 равенство x+1=x−1 обращается в неверное равенство 2+1=2−1 . Более того, равенство x+1=x−1 вообще не достигается ни при каких значениях переменной x . А равенство a+2·b=b+2·a обратится в неверное равенство, если взять любые различные значения переменных a и b . К примеру, при a=0 и b=1 мы придем к неверному равенству 0+2·1=1+2·0 . Равенство |x|=x , где |x| - переменной x , также не является тождеством, так как оно неверно для отрицательных значений x .

Примерами наиболее известных тождеств являются вида sin 2 α+cos 2 α=1 и a log a b =b .

В заключение этой статьи хочется отметить, что при изучении математики мы постоянно сталкиваемся с тождествами. Записи свойств действий с числами являются тождествами, например, a+b=b+a , 1·a=a , 0·a=0 и a+(−a)=0 . Также тождествами являются