Задачи на построение

Основными чертежными инструментами, с помощью которых производятся геометрические построения, являются линейка и циркуль.

С помощью циркуля проводят окружности с данным центром и данного радиуса. В частности, с помощью циркуля на луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному.

Задача 1 По данному рисунку объясните, как построить серединный перпендикуляр к заданному отрезку AB .

Решение.

Опишем окружности с центрами в точках А и В и радиусом, большим половины АВ . Обозначим точки их пересечения, лежащие по разные стороны от прямой АВ , через С 1 и C 2 . Точки С 1 и C 2 одинаково удалены от концов отрезка АВ . Следовательно, они принадлежат серединному перпендикуляру к этому отрезку. Значит, прямая C 1 С 2 будет искомым серединным перпендикуляром.

Задача 2 По данному рисунку объясните, как построить середину заданного отрезка AB .

Строим серединный перпендикуляр к данному отрезку и находим его точку пересечения с этим отрезком. Она и будет искомой серединой.

По данному рисунку объясните, как через данную точку O , принадлежащую данной прямой a , провести прямую b , перпендикулярную прямой a .

С центром в точке O проведем окружность и обозначим A 1 , A 2 ее точки пересечения с прямой a . Проведем серединный перпендикуляр b к отрезку A 1 A 2 . Прямая b является искомой.

Задача 4. По данному рисунку объясните, как из данной точки O , не принадлежащей данной прямой a , опустить перпендикуляр на эту прямую.

Решение.

На прямой a отметим какую-нибудь точку A . Если отрезок OA перпендикулярен a , то он является искомым.

В противном случае проведем окружность с центром в точке O и радиусом OA . Она пересечет прямую a в точке A и некоторой точке B . Так как OA = OB , то точка O принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB . Искомый перпендикуляр будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку AB . После этого можно воспользоваться построением серединного перпендикуляра.

Задача 5. По данному рисунку объясните, как построить биссектрису данного угла.

Решение.

Опишем окружность с центром в вершине О данного угла, пересекающую стороны угла в точках А и В . Затем этим же раствором циркуля с центрами в точках А и В опишем еще две окружности. Их точку пересечения, отличную от О , обозначим С. Проведем луч ОС . Треугольники ОАС и ОВС равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, AOC = BOC , т.е. луч ОС является искомой биссектрисой.

Задача 6. По данному рисунку объясните, как построить угол, равный данному, одна из сторон которого совпадает с данным лучом.

Задача 7.

Постройте треугольник ABC по двум данным сторонам AB = c , AC = b и углу между ними.

На сторонах данного угла отложим отрезки AB = c и AC = b . Проведем отрезок BC ABC .

Задача 8.

ABC по двум данным катетам BC = a , AC = b .

C . На его сторонах отложим отрезки BC = a и AC = b . Проведем отрезок AB . Получим искомый треугольник ABC .

Задача 9.

Постройте прямоугольный треугольник ABC по катету AC = b и гипотенузе AB = c .

Построим прямой угол с вершиной C . На одной его стороне отложим отложим отрезок AC = b . C центром в точке A c . Обозначим B ее точку пересечения со второй стороной данного угла. Проведем отрезок AB . Получим искомый треугольник ABC . Заметим, что решение существует в случае, если c > b .

Задача 10.

Постройте прямоугольный треугольник ABC по гипотенузе AB = c и острому углу A .

На одной стороне данного угла отложим отрезок AB = c Из точки B опустим перпендикуляр BC на другую сторону угла. Получим искомый треугольник ABC .

Задача 11.

Постройте треугольник ABC по данной стороне AB = c и двум данным углам A и B .

На прямой отложим отрезок AB = c . С вершинами в концах этого отрезка в одну сторону от прямой отложим данные углы A и B . Обозначим C их точку пересечения. Полученный треугольник ABC будет искомым. Заметим, что решение существует в случае, если если стороны углов пересекаются.

Задача 12. Постройте треугольник ABC по трем данным сторонам AB = c , AC = b , AC = b .

На прямой отложим отрезок AB = c . С центром в точке A проведем дугу окружности радиуса b . С центром в точке B проведем дугу окружности радиуса a . Обозначим C их точку пересечения. Соединим ее отрезками с точками A и B . Полученный треугольник будет искомым. Заметим, что решение существует в случае, если a – b < c < a + b .

Путивская Юлия

Задача построения середины отрезка, заданного своими концами, с помощью различных инструментов

Скачать:

Предварительный просмотр:

ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА, ЗАДАННОГО СВОИМИ КОНЦАМИ, С ПОМОЩЬЮ РАЗЛИЧНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ

Путивская Юлия Олеговна,

ученица 9 класса МОУ «Зинаидинская

основная общеобразовательная школа»

Первые задачи на построение возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией. Решения простейших геометрических задач на построение, которые помогали людям в их хозяйственной жизни, формулировались в виде «практических правил», исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др. Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI-V вв. до нашей эры. Первым греческим ученым, который занимался решением геометрических задач на построение, был Фалес Милетский (624-547 гг. до н. э.). Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор (VI в. до н. э.) и его ученики, Гиппократ (V в. до н. э.), Евклид, Архимед, Аполлоний (III век до н. э.), Папп (III в. н. э.) и многие другие.

Математики из школы Пифагора уже сумели справиться с такой сравнительно сложной задачей, как построение правильного пятиугольника. В V в. до н. э. возникли знаменитые классические задачи о квадратуре круга, об удвоении куба, о трисекции угла (см. гл. VII). Эти задачи, которые, как оказалось впоследствии, не разрешимы с помощью циркуля и линейки, в течение многих веков вызывали живейший интерес различных исследователей. В IV в. до н. э. греческие мыслители разработали ту общую схему решения геометрической задачи на построение (анализ - построение-доказательство- исследование), которой мы пользуемся и поныне.

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300г. до н. э., ясно показывают, какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг»-эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Изучая геометрию в 7 классе, я познакомилась с решением задач на построение с помощью циркуля и линейки. Передо мной возник вопрос: «А возможно ли выполнить решение этих простейших задач с помощью каких-либо других инструментов, и существуют ли они?» Обратившись с этим вопросом к учителю математики, я получила взамен следующую книгу: Геометрические построения на плоскости, Б.И. Аргунов и М.Б.Балк – Учпедгиз, 1955.

Прочитав многие её главы, я узнала, что наиболее употребляемыми инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями), прямой угол и некоторые другие.

Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента. Такое описание даётся в форме аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертёжных инструментов, которые используются для геометрических построений.

Сформулирую соответствующие аксиомы.

Аксиома линейки.

Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

б) построить прямую, проходящую через две построенные точки;

в) построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Аксиома циркуля.

Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) построить окружность, если построены центр окружности и концы отрезка, равного радиусу окружности;

б) построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построен центр окружности и концы дуги.

Аксиома двусторонней линейки.

Двусторонняя линейка позволяет:

а) выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме линейки;

б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную данной прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h - фиксированный для данной линейки отрезок
(ширина линейки);

в) если построены две точки А и В , то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка (ширина линейки), и если AB >h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

Аксиома прямого угла.

Прямой угол позволяет выполнить следующие геометрические построения:

а) все построения, выполнимые односторонней линейкой;

б) через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;

в) если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение - значит свести её к конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения, которых искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а, следовательно, и ход решения задачи существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрю следующую задачу:

Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В.

Найдём решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем и линейкой

(построение изучается в 7 классе, п.23 Примеры задач на построение)

Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (). Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую PQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники APQ и BPQ равны по трем сторонам, поэтому 1 = 2 ().

Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О - середина отрезка АВ.

2. Циркулем (рисунок ниже описания)

Строим последовательно:

1. окружность с центром В радиусом ВА;
2. окружность с центром А радиусом АВ;
3. общую точку С - точку пересечения окружностей с центром В радиусом ВА и с центром А радиусом АВ;
4. окружность с центром С радиусом СА;
5. общую точку D - точку пересечения окружностей с центром В радиусом ВА и с центром А радиусом АC, отличную от точки А;
6. окружность с центром D радиусом DB;

7) общую точку Е - точку пересечения окружностей с центром В радиусом ВА и с центром D радиусом DB, отличную от точки C;

Заметим, что точки А, В и Е расположены на одной прямой, причём АЕ = 2АВ. Строим далее:

8) окружность с центром Е радиусом ЕА;

9) окружность с центром А радиусом АВ пересекает окружность с центром Е радиусом ЕА в точках M и N

10) окружность с центром M радиусом MA;

11) окружность с центром N радиусом NA;

12) общую точку X - точку пересечения окружностей с центром M радиусом MА и с центром N радиусом NA, отличную от А.

Нетрудно усмотреть, что точка X расположена на прямой.

Кроме того, треугольник АМХ подобен треугольнику АЕМ , так как они равнобедренные и имеют общий угол МАЕ при основании. Поэтому АХ: AM = АМ:АЕ или АХ: АВ = АВ: 2АВ , так что

АХ = АВ и, значит, точка X искомая.

3. Двусторонней линейкой (рисунок ниже описания).

Строим последовательно:

1) прямую АВ;

2) прямую а , параллельную АВ и проходящую на расстоянии h от неё

(h - ширина линейки);

3) прямую b , параллельную а , отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой АВ;

4) точку С на прямой b;

5) прямые АС и ВС;

6) точки D – точку пересечения прямых а и АC и Е – точку пересечения прямых а и ВС;
7) прямые АЕ и BD;

8) точку Р – точку пересечения прямых АЕ и ВD;

9) Прямую СР;

10) точку Х - точку пересечения прямых СР и АВ .

Так как DE - средняя линия треугольника АСВ , то АЕ и BD - его медианы, а следовательно, и СР - медиана, так что точка X искомая.

4. Прямым углом (рисунок ниже описания)

1) Строим прямую АВ;

2) проводим прямые АА" и ВВ", перпендикулярные
прямой АВ;

3) выбираем на АА" произвольную точку С, отличную от А;

4) через точку С проводим СС" АС .
Далее строим последовательно:

5) точку D - точку пересечения прямых CC " и BB" ;

6) прямые AD и ВС;

7) точку P - точку пересечения прямых AD и BC;

Точка X искомая.

Таким образом, рассмотрены различные способы решения одной и той же задачи на построение, с использованием различных инструментов.

Урок№2

Тема : Построение середины отрезка. Построение перпендикулярных прямых

Цели:

обучающая: научить учащихся с помощью циркуля и линейки выполнять деление отрезка пополам; сформировать умения и навыки построения перпендикулярных прямых;

развивающая:

воспитательная:

Ход урока:

1. Актуализация основных теоретических понятий (5мин).

Сначала можно провести фронтальный опрос по следующим вопросам:

1. Дайте определение окружности. Что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?

2. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны?

3. Какой треугольник называется равносторонним?

4. Что называют серединой отрезка?

Далее предложить задание: с помощью циркуля и линейки построить биссектрису, выходящую из вершины равнобедренного треугольника. Перечислить ее свойства.

2. Изучение нового материала (практическая работа) (20мин)

Построение середины отрезка

При изучении нового материала используется таблица№4 приложения 4, по которой учащиеся составляют рассказ, как разделить данный отрезок пополам. После этого в тетрадях выполняются соответствующие построения.

Задача . Построить середину данного отрезка (объясняет учитель с помощью учащихся).

Решение . Пусть АВ - данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ (рис.5).

Рис.5.

Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РQ. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и искомая середина отрезка АВ.

В самом деле, треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам, поэтому 1=2.

Следовательно, отрезок РО - биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т.е. точка О - середина отрезка АВ.

Построение перпендикулярных прямых

Здесь необходимо обратить внимание, что возможны два случая:

1. Точка принадлежит прямой;

2. Точка не принадлежит прямой.

После повторения учитель формулирует задачу и объясняет построение для первого случая, при этом может быть использована таблица№3 приложения 4.

При рассмотрении второго случая учащиеся при помощи таблицы 4 проводят построение и доказательство самостоятельно.

Задача . Через данную точку О провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (объясняет учитель, после обсуждения с учениками).

Решение . Возможны два случая:

1) точка О лежит на прямой а;

2) точка О не лежит на прямой а.

Рассмотрим первый случай (рис.6). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках: А и В. из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С - точка их пересечения. Искомая прямая проходит через точки О и С.

Рис.6.

Перпендикулярность прямых ОС и АВ следует из равенства углов при вершине О треугольников АСО и ВСО.

Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников.

Рассмотрим построение и доказательство для второго случая (рис.7).

Рис.7.

Из точки О проводим окружность, пересекающую прямую а. Пусть А и В - точки ее пересечения с прямой а. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть О - точка их пересечения, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка О. Искомая прямая проходит через точки О и О. Докажем это. Обозначим через С точку пересечения прямых АВ и ОО. Треугольники АОВ и АОВ равны по третьему признаку. Поэтому угол ОАС равен углу ОАС. А тогда треугольники ОАС и ОАС равны по первому признаку. Значит, их углы АСО и АСО равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким образом, ОС - перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.

3. Закрепление (10 мин)

Задача. Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.

Данную задачу ученик решает у доски, предварительно проведя ее анализ.

1. Анализ.

Рис.8.

Выполним чертёж - набросок (рис.8).

СА=b, CB=a, АСВ=

2. Построение (рис.9).

Рис.9.

1. На прямой отметим точку С и отложим отрезок СВ=а.

2. Построим прямую, проходящую через точку С перпендикулярную СВ.

3. Отложим отрезок СА=b

4. АВС - искомый.

3. Доказательство.

В АВС ВС=а, СА= b, ВDАС, следовательно, угол ВСА равен 90є. Значит треугольник АВС - искомый.

Также для отработки умений и навыков, можно использовать задачи №154 (а, б) (см. приложение 1).

4. Подведение итога (3мин)

1. В ходе урока мы решили две задачи на построение. Учились:

а) строить середину отрезка;

б) строить перпендикулярные прямые.

2. В ходе решения этих задач:

а) вспомнили признаки равенства треугольников;

б) использовали построения окружностей, отрезков, лучей.

5. На дом (2мин): №153 (см. приложение 1).

Урок№3

Тема: Решение задач на построение

Цели:

обучающая: отработка умений и навыков выполнения элементарных построений с помощью циркуля и линейки;

развивающая: развитие пространственного мышления, внимания;

воспитательная: воспитание трудолюбия и аккуратности.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания (10мин)

Проверить выполнение задачи №153.

Проверку можно организовать так: у доски три ученика, они должны построить прямую, проходящую через точку А перпендикулярно прямой а (рис.10).

Рис.10.

Класс в это время может выполнить задание: дан треугольник АВС. построить высоту АD. После выполнения задания каждый шаг построения должен быть прокомментирован и обоснован.

2. Самостоятельная работа

Самостоятельная работа проводится по трём вариантам и имеет контролирующий характер

1. Разделить отрезок на 4 равные части.

2. Дан АВС. Построить биссектрису ВК.

3. Дан угол АОВ. Построить угол, для которого луч ОВ является биссектрисой.

Порядок построения следующий (рис.2.2):

1. Из концов отрезка АВ проводят дуги радиусом R, величиной большей, чем половина отрезка.

2. Точки пересечения дуг соединяют прямой линией СD.

Линия CD является перпендикуляром к отрезку АВ, точка О – середина отрезка.

Деление отрезка

Деление отрезка на любое число равных частей

Деление отрезка на 6 равных частей показано на рис. 2.3.

1. Из любого конца отрезка АВ, например, из точки А, проводим луч под острым углом к отрезку.

2. На луче от точки А циркулем откладываем 6 равных отрезков произвольной длины.

3. Конец последнего отрезка, точку 6, соединяем с точкой В.

4. Из всех точек на луче проводим прямые, параллельные 6В, до пересечения с АВ.

Эти прямые разделяют отрезок АВ на шесть равных частей.

Рис.2.3 Рис.2.4

Деление окружности на пять равных частей

(Построение правильного пятиугольника, вписанного в окружность)

Построения показаны на рисунке 2.4.

Из точки С – середины радиуса окружности, как из центра, дугой радиуса СD сделать засечку на диаметре, получим точку М. Отрезок DМ равен длине стороны вписанного правильного пятиугольника. Сделав радиусом DМ засечки на окружности, получим точки деления окружности на пять равных частей (вершины вписанного правильного пятиугольника).

Деление окружности на шесть равных частей

(Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность)

Построения показаны на рисунке 2.5.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности.

Для деления окружности на шесть равных частей надо из точек 1 и 4 пересечения центровой линии с окружностью сделать на окружности по две засечки радиусом R, равным радиусу окружности. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим правильный шестиугольник.

Рис.2.5 Рис.2.6

Определение центра дуги окружности

Построения показаны на рисунке 2.6.

1. Назначить на дуге три произвольные точки А, В и С.

2. Соединить точки прямыми линиями.

3. Через середины полученных хорд АВ и ВС провести перпендикуляры.

Точка О пересечения перпендикуляров является центром дуги.

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой.

Роль плавных переходов в очертаниях различных изделий техники огромна. Их обуславливают требования прочности, гидроаэродинамики, промышленной эстетики, технологии. Чаще всего сопряжения осуществляют с помощью дуги окружности.

Из всего многообразия сопряжений различных линий рассмотрим наиболее распространенные:

1. Сопряжение двух прямых линий.

2. Сопряжение прямой линии и окружности.

3. Сопряжение двух окружностей.

Дуги окружностей, при помощи которых выполняется сопряжение, называют дугами сопряжения.

Алгоритм построения

1. Найти центр сопряжения;

2. Найти точки сопряжения, в которых дуга сопряжения переходит в сопрягаемые линии.

3. Построить дуги сопряжения, значит соединить точки сопряжения заданным радиусом сопряжения.

Сопряжение пересекающихся прямых линий при помощи дуги заданного радиуса.

Пример1 . Сопряжение двух взаимно перпендикулярных прямых а и b дугой заданного радиуса R.

Даны две взаимно перпендикулярные прямые а и b . Задан радиус сопряжения R. (рис.2.7а)

Алгоритм построения

1. Находим центр сопряжения.

Проводим две прямые, параллельные а и b , на расстоянии, равном радиусу R . Эти прямые являются геометрическим местом центров окружностей радиуса R , касательных к данным прямым (рис.2.7б);

Линейка. Наиболее простой и точный метод определения середины отрезка - это измерить его длину с помощью линейки, а затем разделить получившееся значение пополам. В результате можно легко и быстро найти искомый центр с точностью до миллиметра. Однако, помимо такого очевидного метода существует еще один способ того, как построить середину отрезка. Тем не менее без линейки все равно не обойтись. Линейка поможет не только правильно, при необходимости, рассчитать расстояние, но и идеально ровно провести прямую или начертить отрезок, что является необходимым условием любого построения.

Карандаш. В случае построения середины отрезка карандаш вещь действительно незаменимая. Хорошо заточенный он всегда должен быть под рукой если дело касается черчения геометрических фигур линий или отрезков. Сегодня существует большой выбор карандашей любого качества и назначения. Так, для рисования больше подойдет мягкий или твердо-мягкий карандаш, а вот если речь идет о построении, то предпочтение лучше отдать твердому. Удобно, если на конце карандаша имеется хороший ластик.

Циркуль. Для того, что бы именно построить, а не рассчитать или отмерить середину отрезка, необходим циркуль. Вообще подобные знания могут понадобиться не только школьнику, но и, например, студенту при изучении основ начертательной геометрии или инженерной графики. Помимо всего прочего умение отыскать середину может помочь и в ответе на вопрос: как найти середину треугольника. Итак, для построения ставим иглу циркуля на один конец отрезка и отчерчиваем круг, длина диаметра которого равна длине отрезка. Далее, ставим иглу циркуля на второй конец отрезка и делаем такую же окружность.

В результате таких действий мы получаем два одинаковых круга, наложенных друг на друга и пересеченных в двух местах. Отрезок же проходит в центре окружностей и является их радиусом. С помощью линейки проводим прямую через две точки пересечения двух окружностей. В результате чего получаем середину отрезка.Если отрезок находиться в системе координат и возникает вопрос, как найти координаты середины отрезка, действия совершенно идентичные. Так же отчерчиваем два круга или полукруга и, проведя прямую через точки пересечения окружностей или их половин, находим середину отрезка.

После чего строим перпендикуляр от центра отрезка относительно осей координат и получаем координаты. Как правило, такой перпендикуляр наносится пунктиром с помощью линейки и имеет нечеткие очертания.Таким образом, известно не только как найти середину отрезка, но и как вычислить его координаты.Подобные знания могут пригодиться при выполнении различных задач во время учебы в школе, колледже или институте, а также в повседневной жизни, когда обычные способы не пригодны.