Периметром треугольника , как в прочем и любой фигуры, называется сумма длин всех сторон. Довольно часто это значение помогает найти площадь или используется для расчета других параметров фигуры.
Формула периметра треугольника выглядит так:

Пример расчета периметра треугольника. Пусть дан треугольник со сторонами a = 4см, b = 6 см, c = 7 см. подставим данные в формулу: см

Формула расчета периметра равнобедренного треугольника будет выглядеть так:

Формула расчета периметра равностороннего треугольника :

Пример расчета периметра равностороннего треугольника. Когда все стороны фигуры равны, то их можно просто умножить на три. Допустим, дан правильный треугольник со стороной 5 см в таком случае: см

В общем, когда все стороны даны, найти периметр довольно просто. В остальных же ситуациях требуется найти размер недостающей стороны. В прямоугольном треугольнике можно найти третью сторону по теореме Пифагора . К примеру, если известны длины катетов, то можно найти гипотенузу по формуле:

Рассмотрим пример расчета периметра равнобедренного треугольника при условии, что мы знаем длину катетов в прямоугольном равнобедренном треугольнике.
Дан треугольник с катетами a =b =5 см. Найти периметр. Для начала найдем недостающую сторону с . см
Теперь посчитаем периметр: см
Периметр прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 17 см.

В случае, когда известна гипотенуза и длина одного катета, можно найти недостающий по формуле:
Если в прямом треугольнике известна гипотенуза и один из острых углов, то недостающая сторона находится по формуле.

Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от количества известных о нем данных.

Вам понадобится

• В зависимости от случая, знание двух из трех сторон треугольника, а также одного из его острых углов.

Инструкция

• Способ 1.Если известны все три стороны треугольника , то, независимо от того, прямоугольный ли треугольник или нет, его периметр будет рассчитан так:
  P = a + b + c, где, допустим,
  c - гипотенуза;
  a и b - катеты.
• Способ 2. Если в прямоугольнике известны только 2 стороны, то, используя теорему Пифагора, периметр этого треугольника можно рассчитать по формуле:
  P = v(a2 + b2) + a + b, или
  P = v(c2 – b2) + b + с.
• Способ 3. Пусть в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то найти периметр можно будет таким образом:
  P = (1 + sin ? + cos ?)*с.
• Способ 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а напротив него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:
  P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)
• Способ 5. Пускай нам известен катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:
  P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)

Прямоугольным треугольником считается такой треугольник, один из углов которого равен 90 градусам, а два других являются острыми углами. Расчет периметра такого треугольника будет зависим от числа знаменитых о нем данных.

Вам понадобится

• В зависимости от случая, умение 2-х из 3 сторон треугольника, а также одного из его острых углов.

Инструкция

1. Метод 1.Если знамениты все три стороны треугольника , то, самостоятельно от того, прямоугольный ли треугольник либо нет, его периметр будет рассчитан так:P = a + b + c, где, возможен,c – гипотенуза;a и b – катеты.

2. Метод 2. Если в прямоугольнике вестимы только 2 стороны, то, применяя теорему Пифагора, периметр этого треугольника дозволено рассчитать по формуле:P = v(a2 + b2) + a + b, илиP = v(c2 – b2) + b + с.

3. Метод 3. Пускай в прямоугольном треугольнике даны гипотенуза c и острый угол?, то обнаружить периметр дозволено будет таким образом:P = (1 + sin ? + cos ?)*с.

4. Метод 4. Дано, что в прямоугольном треугольнике длина одного из катета равна a, а наоборот него лежит острый угол?. Тогда расчет периметра этого треугольника будет вестись по формуле:P = a*(1/tg ? + 1/sin ? + 1)

5. Метод 5. Пускай нам вестим катет a и прилежащий к нему угол?, тогда периметр будет рассчитан так:P = a*(1/сtg ? + 1/cos ? + 1)

Видео по теме

Периметр – это величина, подразумевающая длину всех сторон плоской (двумерной) геометрической фигуры. Для разных геометрических фигур существуют разные способы нахождения периметра.

В данной статье вы узнаете как находить периметр фигуры разными способами, в зависимости от известных его граней.

Возможные методы:

• известны все три стороны равнобедренного или любого другого треугольника;
• как найти периметр прямоугольного треугольника при двух известных его гранях;
• известны две грани и угол, который расположен между ними (формула косинусов) без средней линии и высоты.

Первый метод: известны все стороны фигуры

Как находить периметра треугольника, когда известны все три грани , необходимо использовать следующую формулу: P = a + b + c, где a,b,c – известные длины всех сторон треугольника, P – периметр фигуры.

Например, известны три стороны фигуры: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Это правильная равнобедренная фигура, чтобы вычислить периметр пользуемся формулой: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.

Данная формула подходит к любому треугольнику , необходимо просто знать длины всех его сторон. Если хотя бы одна из них неизвестна, необходимо воспользоваться другими способами, о которых мы поговорим ниже.

Еще один пример: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Вычисляем периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.

Очень важно помечать единицу измерения в полученном ответе. В наших примерах длины сторон указаны в сантиметрах (см), однако, существуют разные задачи, в условиях которых присутствуют другие единицы измерения.

Второй метод: прямоугольный треугольник и две известные его стороны

В том случае, когда в задании, которое нужно решить, дана прямоугольная фигура, длины двух граней которой известны, а третья нет, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

Описывает соотношение между гранями прямоугольного треугольника. Формула, описываемая этой теоремой, является одной из самых известных и наиболее часто применяемых теорем в геометрии. Итак, сама теорема:

Стороны любого прямоугольного треугольника описываются таким уравнением: a^2 + b^2 = c^2, где а и b – катеты фигуры, а c – гипотенуза.

• Гипотенуза . Она всегда расположена противоположно прямому углу (90 градусов), а также является самой длинной гранью треугольника. В математике принято обозначать гипотенузу буквой c.
• Катеты – это грани прямоугольного треугольника, которые относятся к прямому углу и обозначаются буквами а и b. Один из катетов одновременно является и высотой фигуры.

Таким образом, если условиями задачи заданы длины двух из трех граней такой геометрической фигуры, с помощью теоремы Пифагора необходима найти размерность третьей грани, после чего воспользоваться формулой из первого метода.

Например, мы знаем длину 2-х катетов: a = 3 см, b = 5 см. Подставляем значения в теорему: 3^2 + 4^2 = c^2 => 9 + 16 = c^2 => 25 = c^2 => c = 5 см. Итак, гипотенуза такого треугольника равна 5 см. К слову, данный пример является самым распространенным и называется . Иными словами, если два катета фигуры равны 3 см и 4 см, то гипотенуза составит 5 см соответственно.

Если неизвестна длина одного из катетов, необходимо преобразовать формулу следующим образом: c^2 – a^2 = b^2. И наоборот для другого катета.

Продолжим пример. Теперь необходимо обратиться к стандартной формуле поиска периметра фигуры: P = a + b + c. В нашем случае: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.

Третий метод: по двум граням и углу между ними

В старшей школе, а также университете, чаще всего приходится обращаться именно к данному способу нахождения периметра. Если условиями задачи заданы длины двух сторон, а также размерность угла между ними, то необходимо воспользоваться теоремой косинусов .

Данная теорема применима абсолютно к любому треугольнику, что и делает ее одной из наиболее полезных в геометрии. Сама теорема выглядит следующим образом: c^2 = a^2 + b^2 – (2 * a * b * cos(C)), где a,b,c – стандартно длины граней, а A,B и С – это углы, которые лежат напротив соответствующих граней треугольника. То есть, A – угол, противолежащий стороне a и так далее.

Представим, что описан треугольник, стороны а и б которого составляют 100 см и 120 см соответственно, а угол, лежащий между ними, составляет 97 градусов. То есть а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусов.

Все, что нужно сделать в данном случае – это подставить все известные значения в теорему косинусов. Длины известных граней возводятся в квадрат, после чего известные стороны перемножаются между друг другом и на два и умножаются на косинус угла между ними. Далее, необходимо сложить квадраты граней и отнять от них второе полученное значение. Из итоговой величины извлекается квадратный корень – это будет третья, неизвестная до этого сторона.

После того как все три грани фигуры известны, осталось воспользоваться уже полюбившейся нам стандартной формулой поиска периметра описываемой фигуры из первого метода.